ലീനിയർ ആശ്രിതവും സ്വതന്ത്രവുമായ വരികൾ: നിർവചനം, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഈ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ, സ്ട്രിംഗുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനം എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നതും സ്വതന്ത്രവുമായ സ്ട്രിംഗുകൾ. സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ഞങ്ങൾ നൽകും.

സ്ട്രിംഗുകളുടെ ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ നിർവചിക്കുന്നു

ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ (LK) കാലാവധി s₁കൂടെ₂,…, എസ്_n മാട്രിക്സ് A ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

α കൾ₁ + αs₂ +… + ഓ_n

എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ആണെങ്കിൽ α_i പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ LC ആണ് നിസ്സാരമായ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിസ്സാരമായ രേഖീയ സംയോജനം പൂജ്യം വരിക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്: 0 · സെ₁ + 0 · സെ₂ + 0 · സെ₃

അതനുസരിച്ച്, കുറഞ്ഞത് ഒരു ഗുണകമെങ്കിലും α_i പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, പിന്നെ LC ആണ് നിസ്സാരമല്ലാത്തത്.

ഉദാഹരണത്തിന്: 0 · സെ₁ + 2 · സെ₂ + 0 · സെ₃

രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നതും സ്വതന്ത്രവുമായ വരികൾ

സ്ട്രിംഗ് സിസ്റ്റം ആണ് രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നത് (LZ) അവയുടെ നിസ്സാരമല്ലാത്ത രേഖീയ സംയോജനമുണ്ടെങ്കിൽ, അത് പൂജ്യരേഖയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അതിനാൽ ഒരു നോൺ-ട്രിവിയൽ LC ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ പൂജ്യം സ്ട്രിംഗിന് തുല്യമാകുമെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

സ്ട്രിംഗ് സിസ്റ്റം ആണ് രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ (LNZ) നിസ്സാരമായ LC മാത്രം നൾ സ്ട്രിംഗിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

കുറിപ്പുകൾ:

• ഒരു സ്ക്വയർ മെട്രിക്സിൽ, ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ വരി സിസ്റ്റം ഒരു LZ ആകുകയുള്ളൂ (The = 0).
• ഒരു സ്ക്വയർ മെട്രിക്സിൽ, ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ മാത്രമേ വരി സിസ്റ്റം ഒരു LIS ആകുകയുള്ളൂ (The ≠ 0).

ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

സ്ട്രിംഗ് സിസ്റ്റം ആണോ എന്ന് നോക്കാം {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നത്.

തീരുമാനം:

1. ആദ്യം, നമുക്ക് ഒരു LC ഉണ്ടാക്കാം.

α₁{3 4} + എ₂{9 12}.

2. ഇനി നമുക്ക് എന്ത് മൂല്യങ്ങളാണ് എടുക്കേണ്ടതെന്ന് നോക്കാം α₁ и α₂അങ്ങനെ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ നൾ സ്ട്രിംഗിന് തുല്യമാണ്.

α₁{3 4} + എ₂{9 12} = {0 0}.

3. നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കാം:

4. ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ മൂന്നായി ഹരിക്കുക, രണ്ടാമത്തേത് നാലായി ഹരിക്കുക:

5. ഈ സംവിധാനത്തിന്റെ പരിഹാരം ഏതെങ്കിലും ആണ് α₁ и α₂, കൂടെ α₁ = -3എ₂.

ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ α₂ = 2അപ്പോള് α₁ =-6. മുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉത്തരം: അങ്ങനെ വരികൾ s₁ и s₂ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നത്.