ഫെർമാറ്റിന്റെ ചെറിയ സിദ്ധാന്തം

ഈ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും -  ഫെർമാറ്റിന്റെ ചെറിയ സിദ്ധാന്തംഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പിയറി ഡി ഫെർമാറ്റിന്റെ പേരിലാണ് ഈ പേര്. അവതരിപ്പിച്ച മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണവും ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസ്താവന

1. പ്രാരംഭം

If p ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ് a ഹരിക്കാനാവാത്ത ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് pഅപ്പോള് a^p-1 - 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു p.

ഇത് ഔപചാരികമായി ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: a^p-1 ≡ 1 (എതിർത്തു p).

കുറിപ്പ്: ഒരു പ്രൈം നമ്പർ എന്നത് ക്സനുമ്ക്സ കൊണ്ട് മാത്രം ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അത് ബാക്കിയില്ലാതെ തന്നെ.

ഉദാഹരണത്തിന്:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• അക്കം 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു 5 ബാക്കിയില്ലാതെ.

2. ഇതര

If p ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ്, a ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ, അപ്പോൾ a^p താരതമ്യപ്പെടുത്താം a മൊഡ്യൂൾ p.

a^p ≡ എ (എതിർത്തു p)

തെളിവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ ചരിത്രം

പിയറി ഡി ഫെർമറ്റ് 1640-ൽ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തി, പക്ഷേ അത് സ്വയം തെളിയിച്ചില്ല. പിന്നീട്, ജർമ്മൻ തത്ത്വചിന്തകൻ, യുക്തിജ്ഞൻ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, ഗോട്ഫ്രൈഡ് വിൽഹെം ലീബ്നിസ് ഇത് ചെയ്തു. 1683-ഓടെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ പക്കൽ തെളിവുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നുവെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ഒരിക്കലും പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെട്ടിരുന്നില്ല. ഈ സിദ്ധാന്തം നേരത്തെ തന്നെ രൂപപ്പെടുത്തിയതാണെന്നറിയാതെ ലെയ്ബ്നിസ് സ്വയം കണ്ടെത്തി എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യ തെളിവ് 1736-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, ഇത് സ്വിസ്, ജർമ്മൻ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും മെക്കാനിക്കുമായ ലിയോൺഹാർഡ് യൂലറിൻ്റേതാണ്. യൂലറുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് ഫെർമാറ്റിൻ്റെ ലിറ്റിൽ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

ഒരു സംഖ്യയുടെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം കണ്ടെത്തുക 2¹² on 12.

പരിഹാരം

നമുക്ക് ഒരു നമ്പർ സങ്കൽപ്പിക്കാം 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ, ഫെർമാറ്റിന്റെ ചെറിയ സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

2¹¹ ≡ 2 (എതിർത്തു 11).

അതുകൊണ്ട്, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (എതിർത്തു 11).

അതിനാൽ നമ്പർ 2¹² കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു 12 ബാക്കിയുള്ളതിന് തുല്യമായി 4.