ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം

ഈ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAE) ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അത് എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നു, ഏതൊക്കെ തരങ്ങൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ വിപുലീകൃതമായത് ഉൾപ്പെടെ ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എങ്ങനെ അവതരിപ്പിക്കാം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (അല്ലെങ്കിൽ ചുരുക്കത്തിൽ "SLAU") പൊതുവെ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്ന ഒരു സിസ്റ്റമാണ്:

• m സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്;
• n വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണമാണ്.
• x₁, x₂,…, x_n - അജ്ഞാതം;
• a₁₁,₁₂…, എ_mn - അജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ;
• b₁, b₂,…, ബി_m - സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾ.

ഗുണക സൂചികകൾ (a_ij) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുന്നു:

• i രേഖീയ സമവാക്യത്തിന്റെ സംഖ്യയാണ്;
• j ഗുണകം സൂചിപ്പിക്കുന്ന വേരിയബിളിന്റെ സംഖ്യയാണ്.

SLAU പരിഹാരം - അത്തരം സംഖ്യകൾ c₁, സി₂,…, സി_n , പകരം ഏത് ക്രമീകരണത്തിൽ x₁, x₂,…, x_n, സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡന്റിറ്റികളായി മാറും.

SLAU തരങ്ങൾ

1. ഏകതാനമായ - സിസ്റ്റത്തിലെ എല്ലാ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (b₁ = ബി₂ =… = ബി_m = 0).

   

2. വൈവിധ്യമാർന്ന - മുകളിലുള്ള വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ.
3. സ്‌ക്വയർ - സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് m = n.

   

4. അടിവരയിടുന്നു - അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്.

   

5. അസാധുവാക്കി വേരിയബിളുകളേക്കാൾ കൂടുതൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്.

   

പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം അനുസരിച്ച്, SLAE ഇവയാകാം:

1. സന്ധി കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്. മാത്രമല്ല, ഇത് അദ്വിതീയമാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തെ ഡിഫിനിറ്റ് എന്നും നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ അനിശ്ചിതം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

   

   മുകളിലുള്ള SLAE സംയുക്തമാണ്, കാരണം കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്: x = 2, y = 3.

2. പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

   

   സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, എന്നാൽ ഇടത് ഭാഗങ്ങൾ അങ്ങനെയല്ല. അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷൻ

SLAE യെ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

AX = B

• A അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളാൽ രൂപപ്പെട്ട മാട്രിക്സ് ആണ്:

  

• X - വേരിയബിളുകളുടെ നിര:

  

• B - സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ കോളം:

  

ഉദാഹരണം

ഞങ്ങൾ താഴെയുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തെ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

മുകളിലുള്ള ഫോമുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഗുണകങ്ങൾ, അജ്ഞാതവും സ്വതന്ത്രവുമായ അംഗങ്ങളുള്ള നിരകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രധാന മാട്രിക്സ് രചിക്കുന്നു.

മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ റെക്കോർഡ്:

വിപുലീകരിച്ച SLAE മാട്രിക്സ്

സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സിലേക്കാണെങ്കിൽ A സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ കോളം വലതുവശത്ത് ചേർക്കുക B, ഒരു ലംബ ബാർ ഉപയോഗിച്ച് ഡാറ്റ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് SLAE യുടെ ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

- വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ പദവി.