ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

ഈ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും (De Moivre ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടെ). സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പമുണ്ട്.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

ആദ്യം, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയ്ക്ക് പൊതുവായ രൂപമുണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക: z = a + bi (ബീജഗണിത രൂപം).

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് നേരിട്ട് പോകാം.

ചതുര നമ്പർ

അതേ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി നമുക്ക് ബിരുദത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, തുടർന്ന് അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താം (അത് ഓർക്കുമ്പോൾ i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

ഉദാഹരണം 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും, അതായത് തുകയുടെ വർഗ്ഗം:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi - ബി²

കുറിപ്പ്: അതുപോലെ, ആവശ്യമെങ്കിൽ, വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, തുകയുടെ / വ്യത്യാസത്തിന്റെ ക്യൂബ് മുതലായവ ലഭിക്കും.

Nth ഡിഗ്രി

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ ഉയർത്തുക z തരം n ഇത് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ വളരെ എളുപ്പമാണ്.

പൊതുവേ, ഒരു സംഖ്യയുടെ നൊട്ടേഷൻ ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഓർക്കുക: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷനായി, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഡി മോവ്രെയുടെ ഫോർമുല (ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എബ്രഹാം ഡി മോവ്രെയുടെ പേരിലാണ് പേര്):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ എഴുതിയാണ് ഫോർമുല ലഭിക്കുന്നത് (മൊഡ്യൂളുകൾ ഗുണിക്കുകയും ആർഗ്യുമെന്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു).

ഉദാഹരണം 2

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ ഉയർത്തുക z = 2 ⋅ (കോസ് 35° + i ⋅ sin 35°) എട്ടാം ഡിഗ്രി വരെ.

പരിഹാരം

z⁸ = 2⁸ ⋅ (കോസ്(8 ⋅ 35°) + i ⋅ പാപം(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (വില 280° + i sin 280°).