മാട്രിക്സ് റാങ്ക്: നിർവചനം, കണ്ടെത്തൽ രീതികൾ

ഈ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ, ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന്റെ നിർവചനവും അത് കണ്ടെത്താനാകുന്ന രീതികളും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. പ്രായോഗികമായി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോഗം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കുന്നു

മാട്രിക്സ് റാങ്ക് വരികളുടെയോ നിരകളുടെയോ സിസ്റ്റത്തിന്റെ റാങ്കാണ്. ഏതൊരു മാട്രിക്സിനും അതിന്റെ വരി, നിര റാങ്കുകൾ ഉണ്ട്, അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

വരി സിസ്റ്റം റാങ്ക് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വരികളുടെ പരമാവധി എണ്ണം. കോളം സിസ്റ്റത്തിന്റെ റാങ്ക് സമാനമായ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

കുറിപ്പുകൾ:

• പൂജ്യം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് (ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു "θ") ഏത് വലുപ്പവും പൂജ്യമാണ്.
• പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും വരി വെക്‌ടറിന്റെയോ നിര വെക്‌ടറിന്റെയോ റാങ്ക് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
• ഏതെങ്കിലും വലുപ്പത്തിലുള്ള ഒരു മാട്രിക്സിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു ഘടകമെങ്കിലും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ റാങ്ക് ഒന്നിൽ കുറവല്ല.
• ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് അതിന്റെ കുറഞ്ഞ അളവിനേക്കാൾ വലുതല്ല.
• ഒരു മാട്രിക്സിൽ നടത്തുന്ന പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ അതിന്റെ റാങ്ക് മാറ്റില്ല.

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു

ഫ്രിംഗിംഗ് മൈനർ രീതി

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് പൂജ്യമല്ലാത്തതിന്റെ പരമാവധി ക്രമത്തിന് തുല്യമാണ്.

അൽഗോരിതം ഇപ്രകാരമാണ്: ഏറ്റവും താഴ്ന്ന ഓർഡറുകൾ മുതൽ ഉയർന്നത് വരെയുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണ്ടെത്തുക. പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരാണെങ്കിൽ nth ഓർഡർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, തുടർന്ന് എല്ലാം (n+1) 0 ന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് n.

ഉദാഹരണം

ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു പ്രായോഗിക ഉദാഹരണം എടുത്ത് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്താം A താഴെ, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച്.

പരിഹാരം

ഞങ്ങൾ ഒരു 4 × 4 മാട്രിക്സാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ, അതിന്റെ റാങ്ക് 4-ൽ കൂടുതലാകരുത്. കൂടാതെ, മെട്രിക്സിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതായത് അതിന്റെ റാങ്ക് ഒന്നിൽ കുറവല്ല എന്നാണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

1. പരിശോധന ആരംഭിക്കുക രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിലെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒന്നും രണ്ടും നിരകളുടെ രണ്ട് വരികൾ എടുക്കുന്നു.

മൈനർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അടുത്ത മൈനറിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു (ആദ്യ നിര അവശേഷിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിന് പകരം ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തേത് എടുക്കുന്നു).

മൈനർ 54≠0 ആണ്, അതിനാൽ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ആണ്.

കുറിപ്പ്: ഈ മൈനർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന കോമ്പിനേഷനുകൾ ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിശോധിക്കും:

ആവശ്യമെങ്കിൽ, സ്ട്രിംഗുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എണ്ണൽ അതേ രീതിയിൽ തുടരാം:

• 1 ഉം 3 ഉം;
• 1 ഉം 4 ഉം;
• 2 ഉം 3 ഉം;
• 2 ഉം 4 ഉം;
• 3, 4.

എല്ലാ സെക്കൻഡ്-ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും.

2. ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമായ ഒരു പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ഒരാളെ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ കഴിഞ്ഞു. അതിനാൽ നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം മൂന്നാമത്തെ ക്രമത്തിലെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ.

പൂജ്യമല്ലാത്ത ഫലം നൽകിയ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൈനറിലേക്ക്, ഞങ്ങൾ ഒരു വരിയും പച്ചയിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന നിരകളിലൊന്നും ചേർക്കുന്നു (ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു).

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തയാൾ പൂജ്യമായി മാറി.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ നിരയെ നാലാമത്തേതിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ശ്രമത്തിൽ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തയാളെ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്നു, അതായത് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 3-ൽ കുറവായിരിക്കരുത്.

കുറിപ്പ്: ഫലം വീണ്ടും പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ വരിക്ക് പകരം, ഞങ്ങൾ നാലാമത്തേത് മുന്നോട്ട് കൊണ്ടുപോകുകയും "നല്ല" പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തയാളിനായുള്ള തിരയൽ തുടരുകയും ചെയ്യും.

3. ഇപ്പോൾ അത് നിർണ്ണയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു നാലാമത്തെ ക്രമത്തിലെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ നേരത്തെ കണ്ടെത്തിയതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒന്നാണ്.

മൈനർ 144≠0. ഇതിനർത്ഥം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് എന്നാണ് A 4 ന് തുല്യമാണ്.

ഒരു മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ

ഒരു സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് അതിന്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. അതായത്, നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത്, മാട്രിക്സ് ഉചിതമായ ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, അതിന്റെ റാങ്ക് മാറ്റരുത് എന്നത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക B താഴെ. ഞങ്ങൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കുന്നില്ല, കാരണം ഞങ്ങളുടെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം പ്രായോഗികമായി രീതിയുടെ പ്രയോഗം പ്രകടിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്.

പരിഹാരം

1. ആദ്യം, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ആദ്യം ഇരട്ടിയാക്കിയത് കുറയ്ക്കുക.

2. ഇപ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ആദ്യ വരി കുറയ്ക്കുക, നാലായി ഗുണിക്കുക.

അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സ് ലഭിച്ചു, അതിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത വരികളുടെ എണ്ണം രണ്ടിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ അതിന്റെ റാങ്കും 2 ന് തുല്യമാണ്.