ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരിധി എന്താണ്

ഈ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും - ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധി: അതിന്റെ നിർവചനം, അതുപോലെ പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളുള്ള വിവിധ പരിഹാരങ്ങൾ.

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിധി നിർണ്ണയിക്കുന്നു

പ്രവർത്തന പരിധി - ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആർഗ്യുമെന്റ് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന പോയിന്റിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ മൂല്യം ഏത് മൂല്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു.

പരിധി റെക്കോർഡ്:

• പരിധി ഐക്കൺ സൂചിപ്പിക്കുന്നു lim;
• ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആർഗ്യുമെന്റ് (വേരിയബിൾ) ഏത് മൂല്യത്തിലേക്കാണ് നയിക്കുന്നതെന്ന് ചുവടെ ചേർക്കുന്നു. സാധാരണയായി ഇത് x, പക്ഷേ നിർബന്ധമില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്:x→1″;
• തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ തന്നെ വലതുവശത്ത് ചേർക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

  

അതിനാൽ, പരിധിയുടെ അന്തിമ റെക്കോർഡ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ):

പോലെ വായിക്കുന്നു "എക്സ് ഐക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരിധി".

x→ 1 - ഇതിനർത്ഥം "x" സ്ഥിരമായി ഐക്യത്തെ സമീപിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഒരിക്കലും അതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല (അത് എത്തിച്ചേരില്ല).

തീരുമാന പരിധികൾ

തന്നിരിക്കുന്ന നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച്

മുകളിൽ പറഞ്ഞ പരിധി നമുക്ക് പരിഹരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷനിൽ യൂണിറ്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക (കാരണം x→1):

അതിനാൽ, പരിധി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ അതിന് താഴെയുള്ള ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആദ്യം ശ്രമിക്കുന്നു (x ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയിലേക്കാണെങ്കിൽ).

അനന്തതയോടെ

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ വാദം അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്, "എക്സ്" അനന്തതയിലേക്ക് (∞) പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:

If x→∞, തുടർന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ മൈനസ് അനന്തതയിലേക്ക് (-∞) പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, കാരണം:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 - 1000 - 997 മുതലായവ.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം

ഈ പരിധി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, മൂല്യങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുക x കൂടാതെ ഈ കേസിൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ "പെരുമാറ്റം" നോക്കുക.

• ര്џസ്Ђര്ё x = 1, y = 1² + 3 · 1 - 6 = -2
• ര്џസ്Ђര്ё x = 10, y = 10² + 3 · 10 - 6 = 124
• ര്џസ്Ђര്ё x = 100, y = 100² + 3 · 100 - 6 = 10294

അങ്ങനെ, വേണ്ടി "എക്സ്"അനന്തതയിലേക്കുള്ള പ്രവണത, പ്രവർത്തനം x² + 3x - 6 അനന്തമായി വളരുന്നു.

അനിശ്ചിതത്വത്തോടെ (x അനന്തതയിലേക്കുള്ള പ്രവണത)

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പരിധികളെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്, ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പോളിനോമിയലുകളാണ്. അതിൽ "എക്സ്" അനന്തതയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: നമുക്ക് താഴെയുള്ള പരിധി കണക്കാക്കാം.

പരിഹാരം

ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലുമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ അനന്തതയിലേക്കാണ് നീങ്ങുന്നത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കുമെന്ന് അനുമാനിക്കാം:

എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാം അത്ര ലളിതമല്ല. പരിധി പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

1. കണ്ടെത്തുക x ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തിയിലേക്ക് (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് രണ്ടാണ്).

2. അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു x ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ശക്തിയിലേക്ക് (ഇതും രണ്ട് തുല്യമാണ്).

3. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു x സീനിയർ ഡിഗ്രിയിൽ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും - രണ്ടാമത്തേതിൽ, എന്നാൽ അവ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഉയർന്ന ബിരുദം എടുക്കണം.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തിൽ, എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും പൂജ്യമായി മാറുന്നു, അതിനാൽ ഉത്തരം 1/2 ആണ്.

അനിശ്ചിതത്വത്തോടെ (x ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു)

ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ബഹുപദങ്ങളാണ്, എന്നിരുന്നാലും, "എക്സ്" അനന്തതയിലേക്കല്ല, ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ സോപാധികമായി കണ്ണുകൾ അടയ്ക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: താഴെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരിധി കണ്ടെത്താം.

പരിഹാരം

1. ആദ്യം, ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് നമ്പർ 1 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം "എക്സ്". ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന ഫോമിന്റെ അനിശ്ചിതത്വം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

2. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് സംക്ഷിപ്ത ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം, അവ അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ന്യൂമറേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വേരുകൾ (2x² – 5x + 3 = 0) 1, 1,5 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്. അതിനാൽ, ഇതിനെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 2(x-1)(x-1,5).

ഡിനോമിനേറ്റർ (x–1) തുടക്കത്തിൽ ലളിതമാണ്.

3. ഞങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു പരിഷ്കരിച്ച പരിധി ലഭിക്കുന്നു:

4. ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും (x–1):

5. പരിധിക്ക് കീഴിൽ ലഭിച്ച എക്സ്പ്രഷനിലെ നമ്പർ 1 പകരം വയ്ക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ: